Kerr时空测地线Carter常数的导出和意义

我写的哈密顿-雅可比方法的理论参考的是朗道《力学》（积分形式。复习推荐）。（自学推荐更详细的教材，如微分形式的演绎可参考 Analytical mechanicsLouis N. Hand, Janet D. Finch）

讲义第58页修订为

0=δA=δ∫(pdq−Hdt)=δ∫(PdQ−H′dt)=δ∫(PdQ−H′dt+dF) 0=\delta A=\delta\int(p d q-H d t)=\delta\int\left(P d Q-H^{\prime} d t\right)=\delta\int\left(P d Q-H^{\prime} d t+d F\right)

最后一个等号是因为全微分dF的路径积分的变分为零

δ∫dF=0. \delta\int d F=0.

因为只要F不是广义速度的函数：

Recall that two different descriptions of the same physical system are equivalent if their Lagrangians differ by a total time derivative of the form dF(q,t)dt\frac{d F(q, t)}{d t}). You may want to review a proof of this before proceeding further. (See Problem 1.6 and/or Question 2.5. Why can't F depend on q˙\dot{q} ？) —— Analytical mechanicsLouis N. Hand, Janet D. Finch用微分形式稍慢

这个性质在解题中也有应用，如mit ocw 8.223mit ocw MIT8_223IAP17_Lec4.pdf最后例题推导中大括号drop。

例题 F=qQ得到新正则变量Q=p, q=-P，

对比拉氏方程要求广义坐标不依赖速度（第一个恒等式成立的前提），你认为是不是更自由了？良好性质之一。

H'=

积分形式比微分形式稍快捷。

H'(Q,P)=H(?,?)

讲义缺失的Carter常数推导细节

Carter Constant The Mathematical Theory of Black Holes by S. Chandrasekhar.pdf

取自[The Mathematical Theory of Black HolesS. Chandrasekhar，这本书在测地线解析这方面最全面。中译本：黑洞的数学理论

（你也可读Carter 1968的原始期刊文章），